1: 2011/10/22(土) 02:01:25.53 ID:6ALu5X7i0
京子「フェルマーの最終定理は奥が深いわね」
結衣・ちなつ「……」
結衣「お、おい……どうしちゃったんだよ、京子……」
ちなつ「こんなのおかしいです……」
あかり「そうだよ、おかしいよ」
結衣「あかりもそう思うか」
あかり「だって、フェルマーの最終定理なんて簡単だもんね」
結衣・ちなつ「えっ」
京子「……聞き捨てならないわね」
あかり「京子ちゃん、ミレニアム懸賞問題やら長年誰も解けなかったやらで神聖視されがちだけど、現代数学を以てすればフェルマーの最終定理なんてお遊びにすぎないんだよ」
京子「へぇ。それじゃあフェルマーの最終定理を……そうね、ワイルズよりも初等的に証明してみせてくれるかしら?」
あかり「『お遊び的』と『初等的』ってのは必ずしも同値ではないと思うんだけど……いいよ、教えてあげる。フェルマーの最終定理なんて簡単なんだってこと」
結衣「全然ついていけない……」
ちなつ「私もです……」
結衣・ちなつ「……」
結衣「お、おい……どうしちゃったんだよ、京子……」
ちなつ「こんなのおかしいです……」
あかり「そうだよ、おかしいよ」
結衣「あかりもそう思うか」
あかり「だって、フェルマーの最終定理なんて簡単だもんね」
結衣・ちなつ「えっ」
京子「……聞き捨てならないわね」
あかり「京子ちゃん、ミレニアム懸賞問題やら長年誰も解けなかったやらで神聖視されがちだけど、現代数学を以てすればフェルマーの最終定理なんてお遊びにすぎないんだよ」
京子「へぇ。それじゃあフェルマーの最終定理を……そうね、ワイルズよりも初等的に証明してみせてくれるかしら?」
あかり「『お遊び的』と『初等的』ってのは必ずしも同値ではないと思うんだけど……いいよ、教えてあげる。フェルマーの最終定理なんて簡単なんだってこと」
結衣「全然ついていけない……」
ちなつ「私もです……」
10: 2011/10/22(土) 02:15:11.90 ID:6ALu5X7i0
あかり「まず、x^n + y^n = z^nという式だけど……この式のnを素数として議論してよいというのは大丈夫かな?」
京子「ええ」
結衣「ちょ、ちょっと待った! なんでその式を見ただけでnが素数ってなるんだ! 全くわからん!」
ちなつ「私も同感です! っていうか素数ってなんですか?」
あかり「……はぁ」
結衣「あ、あかり?」
あかり「まあいいや。素数が何かってのはネットで調べてもらうとして、このnを素数としても問題ないというのは非常に容易な議論なんだよ」
ちなつ「そ・す・う、と……なにこれ全然分からないです」
結衣「ちなつちゃん、流石にそれはちょっと……」
京子「……まあ、凡俗は放っておくとして、話を続けましょうか」
ちなつ「凡俗!?」
あかり「nが合成数として、このときnは素数の積となるはずなのでn=pr(pは素数)とできますよね」
結衣「まあ、そうだね」
あかり「すると、x^n=(x^r)^pという形になって、結局これは自然数の素数乗という形に帰着する」
京子「xがx^rとなることでp乗する数の束縛は強くなるけど、結局これはx^pのcaseに内包される。故にnを素数として考えて問題ない、ということね」
京子「ええ」
結衣「ちょ、ちょっと待った! なんでその式を見ただけでnが素数ってなるんだ! 全くわからん!」
ちなつ「私も同感です! っていうか素数ってなんですか?」
あかり「……はぁ」
結衣「あ、あかり?」
あかり「まあいいや。素数が何かってのはネットで調べてもらうとして、このnを素数としても問題ないというのは非常に容易な議論なんだよ」
ちなつ「そ・す・う、と……なにこれ全然分からないです」
結衣「ちなつちゃん、流石にそれはちょっと……」
京子「……まあ、凡俗は放っておくとして、話を続けましょうか」
ちなつ「凡俗!?」
あかり「nが合成数として、このときnは素数の積となるはずなのでn=pr(pは素数)とできますよね」
結衣「まあ、そうだね」
あかり「すると、x^n=(x^r)^pという形になって、結局これは自然数の素数乗という形に帰着する」
京子「xがx^rとなることでp乗する数の束縛は強くなるけど、結局これはx^pのcaseに内包される。故にnを素数として考えて問題ない、ということね」
17: 2011/10/22(土) 02:33:27.20 ID:6ALu5X7i0
あかり「というわけで、以下、n=p:素数として議論するよ」
結衣「ちょっと難しいけど……続けて」
京子「この程度で難しいだなんて……先が思いやられるわ」
ちなつ「難しいどころか全く理解できないんですけど……」
あかり「ところで、x^p + y^pという形はある特殊な形に変形可能なんだよ」
京子「……」ニヤリ
あかり「……どうかした、京子ちゃん?」
京子「いえ、なんでもないわ。続けて」
あかり「今、e^(2πi/n)なる数を考えると、これは半径1の円のn分点を表すことになるよね」
京子「まあ、そうね」
結衣「おいこらいやまて全然わからん! まずeって!? iって!?」
あかり「……」
京子「はぁ……」
結衣「あかり、京子……?」
あかり「結衣ちゃん、悪いけどぐぐってくれる?」
結衣「ちょっと難しいけど……続けて」
京子「この程度で難しいだなんて……先が思いやられるわ」
ちなつ「難しいどころか全く理解できないんですけど……」
あかり「ところで、x^p + y^pという形はある特殊な形に変形可能なんだよ」
京子「……」ニヤリ
あかり「……どうかした、京子ちゃん?」
京子「いえ、なんでもないわ。続けて」
あかり「今、e^(2πi/n)なる数を考えると、これは半径1の円のn分点を表すことになるよね」
京子「まあ、そうね」
結衣「おいこらいやまて全然わからん! まずeって!? iって!?」
あかり「……」
京子「はぁ……」
結衣「あかり、京子……?」
あかり「結衣ちゃん、悪いけどぐぐってくれる?」
19: 2011/10/22(土) 02:43:37.77 ID:6ALu5X7i0
ちなつ「そんなこといって、わたし素数についてぐぐったけど全然わかんなかったですよ! ちゃんと教えて下さい!」
結衣「そ、そうだぞ!」
京子「……eはlim[n→∞] 1 + 1/nによって与えられる定数、iはi^2=(-1)を満たすような数。これでいい?」
結衣「全くわからん……。そもそもlimってなんだよ、なんで2乗してマイナスになってるんだよ!?」
京子「そう定義したからに決まっているじゃない。limは極限のこと。lim[n→∞]というのはnを限りなく正の無限大に近づけるということね」
結衣「理解できない……」
ちなつ「こんなの授業で習ってないです……」
あかり「『授業で習ってない』は甘えだよ、ちなつちゃん」
ちなつ「えっ」
京子「学生なら自らすすんで勉強するのが当然でしょ?」
ちなつ「そんなぁ……」
京子「あかりちゃん、話を続けて頂戴」
あかり「うん。それで、e^(2πi/n)は複素平面上で半径1の円のn分点を表すんだけど、このときnを奇素数とすると……」
京子「点はRe軸上にはこない。つまり、Im(e^(2πi/n))≠0となるということね」
あかり「その通り。この事実をよく覚えておいてね」
結衣「そ、そうだぞ!」
京子「……eはlim[n→∞] 1 + 1/nによって与えられる定数、iはi^2=(-1)を満たすような数。これでいい?」
結衣「全くわからん……。そもそもlimってなんだよ、なんで2乗してマイナスになってるんだよ!?」
京子「そう定義したからに決まっているじゃない。limは極限のこと。lim[n→∞]というのはnを限りなく正の無限大に近づけるということね」
結衣「理解できない……」
ちなつ「こんなの授業で習ってないです……」
あかり「『授業で習ってない』は甘えだよ、ちなつちゃん」
ちなつ「えっ」
京子「学生なら自らすすんで勉強するのが当然でしょ?」
ちなつ「そんなぁ……」
京子「あかりちゃん、話を続けて頂戴」
あかり「うん。それで、e^(2πi/n)は複素平面上で半径1の円のn分点を表すんだけど、このときnを奇素数とすると……」
京子「点はRe軸上にはこない。つまり、Im(e^(2πi/n))≠0となるということね」
あかり「その通り。この事実をよく覚えておいてね」
27: 2011/10/22(土) 02:59:19.30 ID:q1nghM2+0
x^p + y^p←顔に見える
33: 2011/10/22(土) 03:10:29.99 ID:6ALu5X7i0
あかり「ところで、e^(2πi/p)ってのは非常に良い形でね……」
京子「ほぅほぅ」ニヤリ
あかり「……そ、それでね、まあ便宜上e^(2πi/p)=ζ_pとおくと、x^p + y^pってのは非常に簡単な形に因数分解できるんだ」
京子「へぇー!」ニヤニヤ
京子「なんでもないわ。続けてくれるかしら?」
あかり「気、気をとりなおしていってみるよ! ζ_pを用いるとね、x^p + y^p = (x+y*(ζ_p)^0)(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))ってな具合でね。かなり簡単な形でしょ?
結衣「どこが簡単なのか分からない……」
ちなつ「ζってのが陰毛にしか見えないです……」
あかり「それで、今はx,y,zを自然数としてx^p + y^p = z^pって式を考えているんだよね」
京子「そうだね」
あかり「で、左辺は先ほどの形のように書けるわけだけど、両辺を(x+y*(ζ_p)^0)=x+yで割ってやると……」
京子「左辺は(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))となって、右辺は(z^p)/(x+y)となるわね」
あかり「ここで右辺は有理数になるわけだけど、左辺を再度展開すると……」
京子「複素数になるわね。x,yともに自然数で、先程の議論からIm(e^(2πi/n))≠0なんだから」
あかり「故に、(複素数)=(実数)となって矛盾。よってフェルマーの最終定理は示された。ねっ、簡単でしょ?」
京子「ほぅほぅ」ニヤリ
あかり「……そ、それでね、まあ便宜上e^(2πi/p)=ζ_pとおくと、x^p + y^pってのは非常に簡単な形に因数分解できるんだ」
京子「へぇー!」ニヤニヤ
京子「なんでもないわ。続けてくれるかしら?」
あかり「気、気をとりなおしていってみるよ! ζ_pを用いるとね、x^p + y^p = (x+y*(ζ_p)^0)(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))ってな具合でね。かなり簡単な形でしょ?
結衣「どこが簡単なのか分からない……」
ちなつ「ζってのが陰毛にしか見えないです……」
あかり「それで、今はx,y,zを自然数としてx^p + y^p = z^pって式を考えているんだよね」
京子「そうだね」
あかり「で、左辺は先ほどの形のように書けるわけだけど、両辺を(x+y*(ζ_p)^0)=x+yで割ってやると……」
京子「左辺は(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))となって、右辺は(z^p)/(x+y)となるわね」
あかり「ここで右辺は有理数になるわけだけど、左辺を再度展開すると……」
京子「複素数になるわね。x,yともに自然数で、先程の議論からIm(e^(2πi/n))≠0なんだから」
あかり「故に、(複素数)=(実数)となって矛盾。よってフェルマーの最終定理は示された。ねっ、簡単でしょ?」
36: 2011/10/22(土) 03:16:25.27 ID:6ALu5X7i0
京子「……」
結衣「全然簡単じゃない……」
ちなつ「最初から最後まで何言ってるかわからなかったです……」
あかり「どう、京子ちゃん? 何か言うことは?」
京子「……ニヤ」
あかり「な、なに!? なんなの、京子ちゃん!?」
京子「さっき、x^p + y^p = (x+y*(ζ_p)^0)(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))って因数分解したわよね」
あかり「そうだけど、京子ちゃんならちょっと考えればこの程度の因数分解わかるはずだよね?」
京子「一意性」
あかり「……は?」
京子「一意性は保証されているの、って言ってるのよ」
あかり「一意……性?」
京子「ζ_pが複素数である時点で、先の式変形では複素数の範囲で素因数分解しているけれど、複素数に拡張した素因数分解は一意性が保証されないって知ってるかしら?」
あかり「ど、どういうこと!? 因数分解で一通り……あっ!」
京子「今更気付いたようね。例えば、6=2*3=(1+√-5)*(1-√-5)となるように……寧ろ素因数分解が一意となるcaseの方が珍しいのよ」
結衣「全然簡単じゃない……」
ちなつ「最初から最後まで何言ってるかわからなかったです……」
あかり「どう、京子ちゃん? 何か言うことは?」
京子「……ニヤ」
あかり「な、なに!? なんなの、京子ちゃん!?」
京子「さっき、x^p + y^p = (x+y*(ζ_p)^0)(x+y*(ζ_p)^1)…(x+y*(ζ_p)^(p-1))って因数分解したわよね」
あかり「そうだけど、京子ちゃんならちょっと考えればこの程度の因数分解わかるはずだよね?」
京子「一意性」
あかり「……は?」
京子「一意性は保証されているの、って言ってるのよ」
あかり「一意……性?」
京子「ζ_pが複素数である時点で、先の式変形では複素数の範囲で素因数分解しているけれど、複素数に拡張した素因数分解は一意性が保証されないって知ってるかしら?」
あかり「ど、どういうこと!? 因数分解で一通り……あっ!」
京子「今更気付いたようね。例えば、6=2*3=(1+√-5)*(1-√-5)となるように……寧ろ素因数分解が一意となるcaseの方が珍しいのよ」
43: 2011/10/22(土) 03:27:50.44 ID:6ALu5X7i0
京子「実際、ζ_pにおいてp>=23となるときζ_pを係数に持つ整式全体は一意分解可能とはならない」
あかり「あ、ああ……あああ……」
結衣「何が起こったのは分からないがあかりが敗北したことは分かった……」
ちなつ「同じく……」
京子「敗北? 違うわ。これは先人が歩んだ道よ。人は失敗を繰り返して強くなるのよ」
あかり「京子ちゃん……」
京子「あかりちゃん、良ければこの本を通読してみてくれないかしら」
あかり「こ、これは……」
京子「永尾汎先生の『代数学』。東大理学部数学科で使用されている教科書よ。あかりちゃんは知識が教養レベルで止まっているから、是非とも専門レベルの知識を身に付けて欲しいと思っているわ」
あかり「京子ちゃん……ちょっとばかり数学を知ったからってしたり顔で間違った知識を晒したあかりに……こんなに優しく……」
京子「あかりちゃんがあんなことを言ったのはきちんと勉強をしていた証だもの。私は勉学に真剣な人は好きよ?」
あかり「京子ちゃん……。あかり、京子ちゃん大好き!」
京子「ありがとう、私も好きよ」
結衣(……!! 私の京子が……とられる!?)
あかり「あ、ああ……あああ……」
結衣「何が起こったのは分からないがあかりが敗北したことは分かった……」
ちなつ「同じく……」
京子「敗北? 違うわ。これは先人が歩んだ道よ。人は失敗を繰り返して強くなるのよ」
あかり「京子ちゃん……」
京子「あかりちゃん、良ければこの本を通読してみてくれないかしら」
あかり「こ、これは……」
京子「永尾汎先生の『代数学』。東大理学部数学科で使用されている教科書よ。あかりちゃんは知識が教養レベルで止まっているから、是非とも専門レベルの知識を身に付けて欲しいと思っているわ」
あかり「京子ちゃん……ちょっとばかり数学を知ったからってしたり顔で間違った知識を晒したあかりに……こんなに優しく……」
京子「あかりちゃんがあんなことを言ったのはきちんと勉強をしていた証だもの。私は勉学に真剣な人は好きよ?」
あかり「京子ちゃん……。あかり、京子ちゃん大好き!」
京子「ありがとう、私も好きよ」
結衣(……!! 私の京子が……とられる!?)
52: 2011/10/22(土) 03:45:43.67 ID:6ALu5X7i0
それから、私は京子に認められるべく必氏で数学を勉強しました。
杉浦解析も読みました。小平複素解析も読みました。
WeilのBasic Number Theoryも原書で読みました。
そして――
結衣「京子、私は織田先生の研究室で岩澤理論について研究しようと思ってるんだ。京子は研究室決めた?」
京子「悩ましい所だけれど……舟木研……かしらね。今は伊藤積分理論に興味があるわ」
結衣「なんだ、中学生の頃はあんなにフェルマーフェルマー言っていたのに」
京子「あれは忘れてよ! 若気の至りなんだからっ!///」
結衣「うふふ、恥ずかしがる京子もかわいいよ」
京子「結衣……」
結衣「京子……」
京子「私の正規部分群に――アーベル群を右から作用させて……///」
結衣「ああ、一緒に群軌道を為そう!」
おしまい
杉浦解析も読みました。小平複素解析も読みました。
WeilのBasic Number Theoryも原書で読みました。
そして――
結衣「京子、私は織田先生の研究室で岩澤理論について研究しようと思ってるんだ。京子は研究室決めた?」
京子「悩ましい所だけれど……舟木研……かしらね。今は伊藤積分理論に興味があるわ」
結衣「なんだ、中学生の頃はあんなにフェルマーフェルマー言っていたのに」
京子「あれは忘れてよ! 若気の至りなんだからっ!///」
結衣「うふふ、恥ずかしがる京子もかわいいよ」
京子「結衣……」
結衣「京子……」
京子「私の正規部分群に――アーベル群を右から作用させて……///」
結衣「ああ、一緒に群軌道を為そう!」
おしまい
55: 2011/10/22(土) 03:49:27.72 ID:jF8pPuKx0
x(^p^)+ y(^p^)あうあうあ~
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